陈雪姣, 李远飞, 侯春娟
(广州华商学院 数据科学学院，广东 广州 511300)
本文中，笔者研究了半无限长柱体中流体通过多孔介质定常流动的双扩散对流问题.假设流体满足Brinkman定律，它描述了速度对温度和溶质浓度的依赖关系.令(vi，p，T，C)表示速度、压力、温度和浓度，所研究的稳态Brinkman方程组可以写为[1]
-Δvi+vi=-p,i+giT+hiC，
(1)
vi,i=0，
(2)
viT,i=ΔT，
(3)
viC,i=ΔC+σΔT，
(4)
其中σ是大于0的常数，Δ是拉普拉斯算子，gi和hi是大于0的有界函数，不失一般性，假设
gigi≤1，hihi≤1.
假设Darcy流体通过一个半无穷的柱体，其中柱体的母线平行于x3坐标轴.令D表示柱体的有限端，并假设D是坐标平面x1Ox2上的有界凸区域，∂D×{x3>0}表示R的侧面，即
R={(x1，x2，x3)|(x1，x2)∈D，x3>0}.
本文也使用以下记号
Rz={(x1，x2，x3)|(x1，x2)∈D，x3≥z>0}，
Dz={(x1，x2，x3)|(x1，x2)∈D，x3=z>0}.
方程组(1)～(4)的边界条件可以写为
vini=0，T=C=0，在 ∂D×{x3>0}上，
(5)
v3=F1(x1，x2)，T=F2(x1，x2)，C=F3(x1，x2)，在D×{x3=0}上，
(6)
vi，C，T，∇T，∇C=o(1)，p=O(1)，对x1，x2一致的，当x3→∞时，
(7)
其中F1，F2和F3是大于0的已知函数.
则ui,Σ,ε,π满足方程组
(8)
ui,i=0，在R上，
(9)
(10)
(11)
uini=0，Σ=ε=0，在∂D×{x3>0}上，
(12)
u3=Σ=ε=0，在D×{x3=0}上，
(13)
ui，∇ui，ε，Σ，∇Σ，∇ε=o(1)，π=O(1)，对x1，x2一致的，当x3→∞时.
(14)
首先，给出常用的已知微分不等式.
引理1[15]设w是D上的充分光滑的函数，w|∂D=0，则
其中λ1是问题
ψ,αα+λψ=0，在D上，ψ=0，在∂D上的第1特征值.
引理2[18]设w∈C1(Rz)，w|∂D=0，w→0(x3→∞)，则
其中k1是大于0的常数.
ψα,α=w在D上，ψα=0，在 ∂D上，以及一个大于0的常数k2满足
(15)
其次，结合文献[2]中(4.27)和(4.29)，可得引理4.
其中m1,m2是大于0的常数.
结合文献[2]中(5.16)和(5.17)，可得引理5.
结合引理5和文献[2]中的(5.6)和(5.7)，可得引理6.
其中m5，m6是大于0的常数，并且与边界条件Fi(i=1，2，3)相关.
建立能量函数
(16)
其中δ1,δ2是待定的大于0的常数.对(16)微分，可得
(17)
利用散度定理以及方程组(8)～(14)，可得
(18)
接下来，推导每一个Ai(i=1，2，…，15)的上界,并把结果写成引理7～9.
其次，作者对翻译过程原创性地进行了回溯性研究。书中对诗歌翻译的体验性进行了描述，将诗歌翻译与诗歌创作相提并论，认为诗歌翻译不是静态地复制原诗，而是一种诗学挪用和创造，是译者诗学能力和诗学爱好的展示。书中既有形而上的考察，也有形而下的举例，涵括了诗歌翻译中对本体的认识、对原作的解读、译作中的语言表达等阶段，无论是在原创性上还是系统性上都值得称道。
引理7设ui是方程(8),(10)～(14)的解，则有
证利用(8)，(10)～(14)和散度定理，可得
根据引理3可知，存在向量函数ψα满足
ψα,α=u3,在D内，ψα=0，在 ∂D上.
所以
B11+B12+B13+B14+B15.
(19)
(20)
(21)
类似地，有
(22)
(23)
(24)
把(20)～(24)代入(19)并结合(17)，即可完成引理7的证明.
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
类似地，可得
(30)
(31)
注意到m3,m4与边界条件Fi(i=1，2，3)相关，取适当的边界条件以及适当的δ1,δ2使得
(32)
再结合(16)和(25)～(31)即可完成引理8的证明.
A4+A6+A7+A8+A10+A11+A13+A15≤m7[-f′(z)],
其中
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
结合(17)和(33)～(39)即可完成引理9的证明.
结合引理7～9以及(18)，可以得到定理1.
(40)
注1 若在(40)中取z=0，可得
(41)
具体地，方程组(7)～(14)的解满足
或者
其中a1,a2,a3,m2,m5和m6是大于0的常数.
证(40)可以表示为
(42)
如果a1=m2，对(42)从0到z积分，可得
(43)
如果a1≠m2，对(42)从0到z积分，可得
(44)
接下来本文估计F(0)的上界，由注1可知只需要推导-F′(0)的上界.为此，在(17)和(18)中取z=0并利用边界条件(12)～(14)，可得
(45)
或者
(46)
与(25)～(31)类似，可得
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
在条件(32)之下，把(47)～(54)代入(46)并结合(45)，可得
由(41)可知
(55)
把(55)代入到(43)和(44)，可得
如果a1=m2，有
(56)
如果a1≠m2，有
(57)
由(56)和(57)并结合(16)即可完成定理2的证明.
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