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失之于难
失之于易
——高考典型错误分析 江苏省特级教师
何志奇 (邮编 214171)
高考是选拔性的考试， 同时对数学教学产生良好的导向。
在分析与研究高考数学试题的同时， 一定要重视考生在答题时所反映出来的错误， 尤其是一些带有普遍性的问题， 是造成高考失分的主要原因。
当然， 考试失分， 还有主观上的一些原因， 如试题太难， 象 2003年高考数学考卷的压轴题； 又如试题太易， 考生过分轻敌， 导致马虎出错。
主观上， 还是有规律可寻的， 分析这些典型错误， 查出根源， 研究改进的方法， 从而可更有效地进行复习， 才能使高考成绩稳步提高。
一、 基础知识理解不深刻， 概念模糊致误 选择题虽保持单项选择题的形式， 但“多转单” 选择题从内容到题量都可能增加， 以考查学生分检、 组合、 处理等信息的能力。
若对基础知识和重要概念理解不深刻、 不透彻，就会导致概念模糊， 以致失分。
而填空题是拓宽考察功能， 内容向数学各分支扩展的重要题型， 对基础知识的深刻理解要求更高， 区区 16 分， 凝聚着考生对概念的清晰理解， 它将直接影响解题思路或解题结果的正确性。
例 1：
下列结论正确的是（
）
A、向量ba 与同向， 且||||ba ， 则ba ； （注：
下文向量用箭头表示， 如：ABa 或）
B、 若向量||||ba ， 则ba 与长度相等且方向相同或相反 C、 对于任意向量|| ||ba ， 且ba 与的方向相同， 则ba D、 由于向量 0 方向不确定， 故 0 不能与任意向量平行 错误解法：
选（B）
正确解法：
这是一道考察“向量的概念、 相等向量的性质以及零向量的性质” 的问题，必须利用它们各自定义和性质进行判断。
对于（A）， 因为向量有别于数量， 它有大小与方向， 所以两个向量不能比较大小， 故（A）
错。
对于（B）， 向量|| ||ba 只能说明ba 与的模相等， 无法判断它的方向， 故（B）错。
对于（D）， 由教材规定“ 0 与任一向量平行”。
可得（D）
错。
对于（C）， 由相等向量的性质去判断， 可得（C）
正确。
综上所述， 故选（C）。
注解：
“拿足基本分， 力争夺高分， 会解不失分， 能解要满分” 是每一位考生提高得分率的愿望。
二、 运算能力和技巧不讲究， 计算出错致误。
运算出错主要表现在：
运算过程合理性较差； 运算结果的正确率低； 不能正确地推演一般表达式； 不会对数据和解答进行估计和近似计算。
从近几年高考试题的整体来看， 对运算的要求并不高， 达到了多考“想”， 少考“算”的设想， 但考生在计算上仍然错误百出。
一些运算并不繁琐， 无需特殊技巧的数值运算题目， 也有相当多的考生得不出正确的结果， 说明考生虽明白算理， 但运算准确性不高， 思路对， 就是算不对。
还有一些考生虽然头脑里储存了很多解题模式， 但遇到具体问题往往不能根据题目的要求， 灵活选择适当的方法， 只会硬套现成的模式， 把与题目无关的问题生搬到一起， 简单问题复杂化， 影响了正常解答。
简言之， 算理和算法是考查运算能力的重点， 准确和迅速是考查运算能力的核心。
2003 年的全国高考题计算量偏大， 小题目靠心算完成的题目不多， 解答题（理）（17、20、 21）
题的计算量都不小。
三、 逻辑思维和书面表达不清晰， 导致解题失误 不少考生在推理论证过程中， 出现前提和结论脱节， 甚至因果倒置， 逻辑混乱的情况；不能正确地运用数学语言来表达自己的思想。
由于逻辑推理不严密， 造成得分率低。
有些考生考完后自我感觉良好， 但当公布分数后却大失所望， 这都是在表达上失分所致。
这就要求考生能用恰当的语言准确流畅地表达自己的思想， 在表述中注意条理性和层次性， 名词术语准确规范， 书写清晰， 合乎逻辑。
在高考题中， 有些论证题目常常与运算结合起来考查。
推导证明结论， 往往需要通过具体计算， 而在计算题中， 也较多地揉进了逻辑推理的成分， 边推理边计算， 不经推理则无法计算， 但考生在解答过程中却往往忽视推理过程， 结果正确， 但不能得满分。
例 2：
某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆， 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%， 并且每年新增汽车数量相同。
为保护城市环境， 要求该城市汽车保有量不超过60 万辆， 那么， 每年新增汽车量不应超过多少辆？
很多考生在表述自己的解题过程时， 存在着严重的逻辑错误或者语意表达不清：
如有很多考生这样表述：
an=30(1－6%)n+x(1－6%)n－1+x(1－6%)n－2+…+x(1－6%)+x=30(1－6%)n+%)61 (1x 或 an=30(1－6%)n+x(1－6%)n－1+x(1－6%)n－2+…+x=30(1－6%)n +%6%)94(1nx ≤60恒成立， 得到60%6limnxn a恒成立。
甚至还有部分考生在解题时未知量的假设表述不清。
如有的考生这样进行解题假设：
设每年新增汽车 x 万辆， 第 n 年的汽车保有量为 y， 则 y=30(1－6%)+x； y=30(1－6%)2+x(1－6%)+x；
y=30(1－6%)3+x(1－6%)2+x(1－6%)+x， …，
y=30 (1－6%)n+x(1－6%)n－1+…+x
四、 信息迁移理解偏差， 思维定势致误 某些试题针对当今社会日趋信息化的特点而设计的， 虽然时代感较强， 贴近生活， 贴近课本， 但提供的信息量大、 复杂或较抽象， 此时必须理解所给信息， 进行提炼、 加工、整理、 建立数学模型， 利用数学知识求解， 才是得分的关键。
例 3：
（ 2001 年上海高考题）：
若记号“*” 表示求两个实数 a 与 b 的算术平均数的运a ， 则两边均含有运算符号“*” 和“+”， 且对任意三个实数 a， b， c 都算， 即 a*b=2b能成立的一个算式可以是
分析：
这是典型的新定义运算题， 主要考查阅读理解能力和处理新信息的能力， 但有的 考 生 就 根 本 看 不 懂 题 目 所 表 达 的 意 思 ， 而 痛 失 分 数 。
本 题 答 案 有 多 种 ， 如a+(b*c)=(a+b)*(a+c)， a*(b+c)=(a+b)*c， (a*b)+c=(b*a)+c， (a*b)+c=)2(2cba等。
注解：
这些信息迁移题是指通过阅读材料、 观察图表， 从中获取相关信息， 从而发现规律， 找出方法， 并应用于新问题解答的一类问题。
这类问题倍受高考命题者的青睐。
由于高考试题的导向作用， 立意新颖、 构思精巧的信息题如雨后春笋般出现在各省、 市高考模拟题中。
五、 缺乏实践知识， 阅读困难致误 数学应用题的考查对中学数学有重要和良好的导向， 有利于加强素质教育， 让学生在学习数学知识和方法的基础上， 引导学生将知识和方法应用于实际， 解决社会生产生活中的问题。
解数学应用问题要求学生自己阅读材料， 读懂题意， 理解问题中的数学语言和非数学语言， 建立数学模型， 运用数学的知识、 方法、 技能、 思想去解决问题。
例 4：
下图是 2008 年北京奥运会的会徽， 其中的“中国印” 由四个色块构成， 可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块联接起来（如同架桥）， 如果用三条线段将这四个色块联接起来， 能有多少种不同的联接方法？
B
D
A
C
图（一）
图（二）
实际上联接方法的多少与色块的度量关系及绝对位置无关， 只与色块的相对位置相关， 我们可以将色块联想为平面内的四个点， 则问题化归为“用三条线段将四个点联接成一个整体， 有多少种联接方法？ ” 见图（二）， 结果为 16 种， 这正是大数学家欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题” 的思想方法， 体现着问题解决者的数学能力和数学素养； 体现着问题解决者鲜明的时代特点。
许多同学由于缺乏实践知识， 阅读、 建模困难致误。
本题容易产生的错误是：
（1）
读不懂题.（2）
审题有错.（3）
建模困难。
解决应用问题需要有文字阅读能力的功底， 有分析、 判断、 选择方法的能力， 更要有综合利用数学知识、 数学思想方法解决问题的能力。
因此， 需要综合素质的提高， 希望考生在高考复习过程之中积极努力， 有意识地全面地提高自己的水平， 力争取得最好的成绩。
六、 思想方法局限， “小题大做” 致误 分析最近几年的高考试题， 我们发现每年的高考题一般都有意控制计算量（以便能有效增加题量）， 特别是选择题、 填空题， 要求充分利用题目的特征， 并辅以技巧， 争取在一、 二分钟内迅速作答。
高考本身有速度要求， 因此， 答题要有速度意识， 不仅解答题书写要快， 而且选择题、 填空题更不能耽误时间， 为了给解符号题（特别是中、 高档题）
留下充裕的思考时间， 每道选择题、 每道填空题应在一、 二分钟内解决， 因为选择题、 填空题占用时间太长是“潜在失分” 或“隐含失分”。
所以， 我们一定要根据选择题、 填空题的特点运用解题技巧， 防止“小题大做”。
例 5：
（ 1993 年全国高考题）
在各项均为正数的等比数列{an} 中， 若 a5a6=9， 则log3a1+log3a2+…+log3a10= A、 12
B、 10
C、 8 解法 1：（小题难做）由已知条件求出 an的表达式， 从而逐项求 log3a1， log3a2， …， log3a10再相加， 这是不可能办到的。
解法 2：
（小题大做）
由已知 9=a5a6=a1q4· a1q5=a1a1a2…a10=a1解法（3）：
（小题小做）
由 9=a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10知，
原式=log3（a5a6）
D、 2+log35 2q9。
知 10a1+2+…+9=（a12q9）5=310， 得
原式=log3（a1a2…a10）
=log3310=10， 选（B）。
5=log3310=10。
解法 4：
（小题巧做）
结论暗示， 不管数列{an}的通项公式是什么（有无穷多个）， 答案都是唯一确定的。
故只须取一个满足条件的特殊数列 a5=a6=3， q=1 就可以了。
这时， 心算即可作出选择， 为（B）。
一般说来， 解选择题要充分利用题目自身所提供的新信息， 变常规题为特殊技巧的快速解答题， 避免“小题大做”。
由于填空题多为定量型的， 因而计算的技巧应特别注意整体代入、 设而不求、 活用定义、 巧用公式等解题策略， 把填空题当作“不写过程的解答题”是不策略的。
研究选择题、 填空题的解法， 必须包括这样一个策略目的：
快速求解。
七、 空间想象欠缺， 论断无据致误
例 6：
（1998 年全国高考第 23 题）。
已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直， ∠ABC=900， BC=2， AC=2 3 ， 且 AA1⊥A1C， AA1=A1C。
（I）
求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小 （II）
求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小；
（III）
求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离。
本小题主要考查直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的位置关系， 棱柱的性质， 空间的角和距离的概念， 逻辑维能力、 空间想象能力及运算能力。
本题容易产生的错误是：
（1）
概念不清， 论断无据 如在第（I）
问中， 没有作 A1D⊥AC 于 D 证明 A1D⊥平面 ABC， 就直接说∠A1AC 为线面角， 或者直接作 A1D⊥平面 ABC， 没证 D 在 AC 上， 还有人认为∠A1AB 为直线 A1A和平面 ABC 所成的角。
（2）
不能正确使用有关定理。
如在第（I）
问中， 有的考生这样写， ∵平面 A1ACC1⊥平面 ABC， 直线 A1A 平面 A1ACC1， ∴A1A⊥平面 ABC， 把线面垂直关系搞错了。
或者：
∵AD⊥平面 ABC， BC⊥AB， ∴BC⊥A1B， 则把三垂线定理搞错了。
（3）
因果关系不清， 思维混乱， 逻辑混乱， 这就不再举例了。
（4）
本题是计算题， 但计算依赖于证明。
首先要做出侧棱 A1A 与底面所成角， 二面角 A1―AB―C 的平面角， 和顶点 C 到侧面 A1ABB1的垂线， 这都必须有严格的证明， 但有的考生只有计算没有证明， 显然要失去一半以上的分。
思
注解：
解决立体几何的常见错误是：
直觉想象错误； 特殊代替一般的证明错误； 构造图形错误； 等等。
八、 洞察问题不深， 等价转换受挫 多数考生单一地， 直接地运用某一知识进行解题时表现较好， 但要综合地或变化地运用某些知识进行解题时就感到困难， 不知从何入手， 死记硬背， 生搬硬套， 张冠李戴的现象常有发生。
有的考生对试题不能通盘考虑， 不能洞察问题的实质， 不能抓住要害。
有的考生不善于应用数学思想和数学方法、 如函数与方程的思想， 等价转化的思想， 数列结合的思想、 分类讨论的思想等等。
因此， 不仅大题做不好， 选择、 填空上得分率也不高。
例 7：（2003 年上海高考题）：
f（x）
是定义在区间[－c， c]上的奇函数， 其图象如图 2所示， 令 g(x)=af(x)+b， 则下列关于函数 g（x）
的叙述正确的是（
）
A、 若 a＜0， 则函数 g（x）
的图象关于原点对称 B、 若 a=－1， －2＜b＜0， 则 g（x）
=0 有大于 2 的实根 C、 若 a≠0， b=2， 则方程 g（x）
=0 有两个实根 D、 若 a≥1， b＜0， 则方程 g（x）
=0 有三个实根
分析：
本题中函数 f（x）
只给出图象， 而未给出解析表达式， 而 g(x)=af(x)+b 与 f(x)-2-222x0C1B1A1CBA
的图象之间的关系是沿着 y 轴的放缩与平移变换的关系。
若 a=－1， 则将 f（x）
的图象沿x 轴作对称变换。
若－2＜b＜0， 则将 af(x)的图象沿 y 轴向下平移|b|个单位， 显然有大于 2的实根。
自然应选（B）。
本命题关注合情推理与逻辑推理相结合， 体现了“多考点想的， 少考一点算的” 命题意图， 要求考生通过对图象的观察获取信息， 进行先定性后定量的分析与思考。
强化了应用意识和数学化能力的考查， 然而有不少考生缺乏上述的观察与分析， 显得“老虎吃天，无法下手”， 不得不靠随意猜测来选定答案。
总之， 分数失之于难， 亦失之于易。
诀窍是：
立足“三基” 稳为先， 题意细审防错解；挖掘隐含助解题， 阅读理解排困难； 数形结合巧求解， 整理信息建模型； 数学方法简求解，信心坚定不放弃； 功夫全靠平时练， 六月高考奏凯歌。
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